Os séculos se dissipam e o mistério representado pela contagem dos números primos continua provocando as inteligências mais aguçadas. O desafio consiste em representar a sucessão dos números por uma equação, ou seja, predizer a sequência exata em que um número primo sucede a outro.
Aqui, trataremos da improvável conexão entre o direito das sucessões e a teoria dos números. No ordenamento jurídico brasileiro, como nos ensina Tepedino, "apesar das substanciais alterações que ocorreram na propriedade e na família, (…) o Direito Sucessório pareceu ficar imune a tais modificações, mantendo perfil neutro à natureza dos bens transmitidos e à pessoa do sucessor. Com efeito, o pressuposto da transmissão hereditária parece estar fundado apenas no fato de aquele sucessor pertencer à família do autor da herança, sem digressões quanto às relações dos sucessores com o falecido, dos sucessores entre si, bem como dos vínculos existentes entre os sucessores e os bens integrantes da herança."
Com esses apontamentos em mente, apresentarei algumas reflexões quanto aos problemas envolvidos com a temática da sucessão, especialmente aqueles relacionados com as fraudes à sucessão que transcendem a taxatividade normativa. A criativa engenharia criminosa não tem limites.
Neste primeiro momento, tratarei da teoria dos números, sobretudo da hipótese de Riemann e das técnicas utilizadas por ele para demonstrar a correlação entre a previsão de contagem e a efetiva quantidade existente de números primos. E para isso, farei uso de um artigo que traduzi e adaptei do original publicado pelo norueguês Jorgen Veisdal, editor do Cantor's Paradise. Confira as referências ao final. Dito isso, ao artigo sobre a hipótese de Riemann escrito por Veisdal:
Você se lembra dos números primos, certo? Esses números você não pode dividir em outros números, exceto quando você os divide por si próprios ou 1?
Aqui está uma pergunta de 3000 anos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p. O que é p? 31. Qual é o próximo p? É 37. O p depois disso? 41. E então? 43. Como, mas…… como você sabe o que vem a seguir?
Apresente um argumento ou fórmula que (mesmo mal) prediga qual será o próximo número primo (em qualquer sequência de números), e seu nome estará para sempre ligado a uma das maiores conquistas da mente humana, semelhante a Newton, Einstein e Gödel. Descubra porque os primos agem dessa maneira e você nunca mais terá que fazer outra coisa.
Introdução
As propriedades dos números primos foram estudadas por muitos gigantes matemáticos da história. Da primeira prova da infinidade dos primos por Euclides, à fórmula de produto de Euler que conectou os números primos à função zeta. Da formulação de Gauss e Legendre do teorema dos números primos à sua prova por Hadamard e de La Vallée Poussin.
Bernhard Riemann ainda reina como o matemático que fez o maior avanço na teoria dos números primos. Seu trabalho, todo contido em um artigo de 8 páginas publicado em 1859, fez novas e até então desconhecidas descobertas sobre a distribuição dos primos e é até hoje considerado um dos artigos mais importantes na teoria dos números.
Desde sua publicação, o artigo de Riemann tem sido o foco principal da teoria dos números primos e foi de fato a principal razão para a prova de algo chamado teorema dos números primos em 1896. Desde então, várias novas provas foram encontradas, incluindo provas elementares de Selberg e Erdós. A hipótese de Riemann sobre as raízes da função zeta, no entanto, permanece um mistério.
Quantos primos existem?
Vamos começar com facilidade. Todos nós sabemos que um número é primo ou composto. Todos os números compostos são feitos e podem ser divididos (fatorados) em um produto (a x b) de números primos. Os números primos são, desta forma, os “blocos de construção” ou “elementos fundamentais” dos números. Foi provado que eles eram infinitos em número por Euclides, 300 anos aC. Sua prova elegante é a seguinte:
Teorema de Euclides
Suponha que o conjunto de números primos não seja infinito. Faça uma lista de todos os primos. Em seguida, seja P o produto de todos os primos da lista (multiplique todos os primos da lista). Adicione 1 ao número resultante, Q = P +1. Como acontece com todos os números, este número Q deve ser primo ou composto:- Se Q for primo, você encontrou um primo que não estava em sua "lista de todos os primos". Se Q não for primo, ele é composto, ou seja, feito de números primos, um dos quais, p, dividiria Q (uma vez que todos os números compostos são produtos de números primos). Todo primo p que compõe P obviamente divide P. Se p divide P e Q, então ele também teria que dividir a diferença entre os dois, que é 1. Nenhum número primo divide 1, e então o número p não pode estar em sua lista, outra contradição de que sua lista contém todos os números primos. Sempre haverá outro primo p que não está na lista que divide Q. Portanto, deve haver um número infinito de números primos.
Por que os primos são tão difíceis de entender?
O simples fato de qualquer novato compreender o problema que apresentei acima diz muito sobre como ele é difícil. Mesmo as propriedades aritméticas dos primos, embora amplamente estudadas, ainda são mal compreendidas. A comunidade científica está tão confiante em nossa falta de habilidade de entender como os números primos se comportam que a fatoração de grandes números (descobrir quais dois primos se multiplicam para formar um número) é um dos próprios fundamentos da teoria da criptografia. Esta é uma maneira de ver isso:
Compreendemos bem os números compostos. Esses são todos os não primos. Eles são feitos de primos, mas você pode facilmente escrever uma fórmula que preveja e/ou gere compostos. Esse “filtro composto” é chamado de peneira. O exemplo mais famoso é chamado de “Crivo de Eratóstenes” de 200 aC.
O que ele faz é simplesmente marcar os múltiplos de cada primo até um determinado limite. Portanto, pegue o primo 2 e marque 4, 6, 8, 10 e assim por diante. Em seguida, pegue 3 e marque 6, 9, 12, 15 e assim por diante. O que vai sobrar são apenas primos. Embora muito simples de entender, a peneira de Eratóstenes é, como você pode imaginar, não muito eficiente.
Uma função que simplifica significativamente seu trabalho é 6n +/- 1. Esta função simples exibe todos os números primos, exceto 2 e 3, e remove todos os múltiplos de 3 e todos os números pares.
Faça n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e veja o resultado: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43. Os únicos números não primos gerados pela função são 25 e 35, que podem ser fatorados em 5 x 5 e 5 x 7, respectivamente. Os próximos não primos são, como você pode imaginar, 49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11 e assim por diante. Simples, certo?
Para ilustrar isso visualmente, usei algo que estou chamando de "escadas compostas", uma maneira simples de ver como os números compostos gerados pela função são dispostos para cada primo e combinados. Nas primeiras três colunas da imagem abaixo, você vê nitidamente os números primos 5, 7 e 11 com cada escada composta respectiva até e incluindo 91. O caos da quarta coluna, mostrando como a peneira removeu tudo, exceto os números primos, é uma boa ilustração de por que os números primos são tão difíceis de entender.
Figura 1 - Conexões escalonadas
Recursos Fundamentais
Então, o que tudo isso tem a ver com essa coisa que você deve ter ouvido, chamada de “hipótese de Riemann”? Bem, dito de forma simples, a fim de entender mais sobre os primos, os matemáticos de 1800 pararam de tentar prever com certeza absoluta onde estava um número primo e, em vez disso, começaram a olhar para o fenômeno dos números primos como um todo. Esta abordagem analítica tinha em Riemann um mestre, e foi onde sua famosa hipótese se originou. Antes que eu possa explicá-lo, no entanto, é necessário se familiarizar com alguns recursos fundamentais.
A série harmônica
A série harmônica é uma série infinita de números estudada pela primeira vez por Nicholas Oresme no século XIV. Seu nome está relacionado ao conceito de harmônicos na música, sobretons mais elevados do que a frequência fundamental de um tom. A série é a seguinte:
Figura 2 - Série Harmônica
Essa soma foi provada como divergente por Oresme (não tendo um limite finito, não se aproximando ou tendendo a nenhum número em particular, mas correndo para o infinito).
Função Zeta ζ (s)
A série harmônica é um caso especial de um tipo mais geral de função chamada função zeta ζ (s). A função zeta com valor real é dada para r e n, dois números reais:
Figura 3 - Função Zeta
Se você inserir para n = 1, obterá a série harmônica, que diverge. Para todos os valores de n > 1, no entanto, a série converge, o que significa que a soma tende para algum número à medida que o valor de r aumenta, ou seja, não termina no infinito.
A Fórmula do Produto Euler
A primeira conexão entre funções zeta e números primos foi feita por Euler quando ele mostrou que para n e p, dois números naturais (inteiros maiores que zero) onde p é primo:
Figura 4 - Fórmula produto de Euler - A identidade mostra a conexão entre os números primos e a função zeta
Essa expressão apareceu pela primeira vez em um artigo em 1737 intitulado Variae Observationes circa series infinitas. A expressão afirma que a soma da função zeta é igual ao produto do recíproco de um menos o recíproco dos primos para a potência s. Essa conexão surpreendente lançou as bases para a teoria dos números primos moderna, que a partir desse ponto usou a função zeta ζ (s) como uma forma de estudar os primos.
* O autor apresenta apresenta a prova da fórmula de Euler como uma de suas favoritas. De fato, a demonstração realizada por Euler é de uma simplicidade desconcertante. Aos interessados, peço que acessem o artigo original.
A Função Möbius
Augusto Ferdinand Möbius mais tarde reescreveu a fórmula do produto Euler para criar uma nova soma. Além de conter recíprocos de primos, a função de Möbius também contém cada número natural que é o produto de números pares e ímpares de fatores primos. Os números deixados de fora de sua série são aqueles que se dividem por alguns primos ao quadrado. Sua soma, denotada por μ (n), é a seguinte:
Figura 5 - A função Möbius, uma versão alterada da Fórmula do Produto de Euler, definida para todos os números naturais
A soma contém recíprocos de: 1. Cada primo;
2. Todo número natural que é produto de um número ímpar de diferentes primos, prefixado por um sinal de menos; e
3. Todo número natural que é o produto de um número par de diferentes primos, prefixado por um sinal de mais;
Abaixo estão os primeiros termos:
Figura 6 - A série/soma de 1 dividida pela função zeta ζ (s)
A soma não contém recíprocos de números que se dividem por alguns primos ao quadrado, por exemplo, 4, 8, 9 e assim por diante.
A função Möbius μ (n) assume apenas três valores possíveis que prefixam (1 ou -1) ou removem (0) termos da soma:
μ(n) = 1, se n for livre de quadrados com um número par de fatores primos.
μ(n) = 0, se n não for livre de quadrados.
μ(n) = -1, se n for livre de quadrados com um número ímpar de fatores primos.
Embora inicialmente definida formalmente por Möbius, esta quantia peculiar foi notadamente considerada por Gauss em uma nota lateral com 30 anos de antecedência.
A função de contagem principal
De volta aos primos. Para entender como os primos são distribuídos conforme você sobe na reta numérica, sem saber onde eles estão, é útil, em vez disso, contar quantos são até um determinado número.
A função de contagem de primos π (x), introduzida por Gauss, faz exatamente isso, dá o número de primos menor ou igual a um dado número real. Dado que não existe uma fórmula conhecida para encontrar números primos, a fórmula de contagem de números primos é conhecida por nós apenas como um gráfico ou função escalonada que aumenta em 1 sempre que x é primo. O gráfico abaixo mostra a função até x = 200.
Figura 7 - Função de contagem de números primos π(x) até x = 200
O Teorema do Número Primo
O teorema dos números primos, também formulado por Gauss (e Legendre, independentemente) afirma:
Imagem 8 - O teorema dos números primos
A expressão do limite afirma que “conforme x vai ao infinito, a função de contagem primária π (x) se aproxima da função x/ln(x)”. Em outras palavras, se você contar alto o suficiente e plotar o número de primos até um número muito grande x, então plotar x dividido pelo logaritmo natural de x, a razão entre os dois se aproximará de 1. As duas funções são plotadas abaixo para x = 1000:
Figura 9 - A função de contagem primo π (x) e a estimativa do teorema dos números primos plotados até x = 1000
Em termos de probabilidade, o teorema dos números primos afirma que se você escolher um número natural x aleatoriamente, a probabilidade P(x) de que esse número seja um número primo é de aproximadamente 1/ln(x). Isso significa que a lacuna média entre os números primos consecutivos entre os primeiros x inteiros é de aproximadamente ln(x).
A Função Integral Logarítmica
A função Li (x) é definida para todos os números reais positivos, exceto x = 1. É definida por uma integral de 2 a x:
Figura 10 - Representação da função integral logarítmica
Plotando essa função junto com a função de contagem de primos e a fórmula do teorema dos números primos, vemos que Li(x) é na verdade uma aproximação melhor do que x/ln (x):
Figura 11 - A função integral logarítmica Li(x) e a função de contagem principal π (x) e x/ln (x) plotados juntos
O quão melhor é uma aproximação ou outra pode ser observado se fizermos uma tabela com grandes valores de x, o número de primos até x e o erro das funções antigas (teorema dos números primos) e novas (integral logarítmica):
Figura12 - O número de primos até uma dada potência de dez e os termos de erro correspondentes para as duas estimativas
Como pode ser facilmente visto na tabela, a função integral logarítmica é uma aproximação muito melhor do que a função do teorema dos números primos, apenas "ultrapassando" 314.890 primos para x = 10 elevado à potência de 14. No entanto, ambas as funções convergem para a função de contagem principal π(x). Li(x) faz isso muito mais rápido, mas conforme x vai para o infinito, a razão entre a função de contagem principal e ambas as funções Li(x) e x/ln(x) vai para 1. Visualizando isso em um gráfico:
Figura 13 - Convergência das razões das duas estimativas e a função de contagem principal para 1 com x = 10.000
A função gama
A função gama Γ(z) tem sido um importante objeto de estudo desde que o problema de estender a função fatorial para argumentos não inteiros foi estudado por Daniel Bernoulli e Christian Goldbach na década de 1720. É uma extensão da função fatorial n! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... n), deslocado para baixo em 1:
Figura 14 - Função gama, definida para z
Seu gráfico é muito curioso:
Figura 15 - A Função Gamma Γ(z) plotada no intervalo -6 ≤ z ≤ 6
A função gama Γ (z) é definida para todos os valores complexos de z maiores que zero. Os números complexos, como você provavelmente sabe, são uma classe de números com uma parte imaginária, escrita como Re(z) + Im(z), onde Re(z) é a parte real (número real comum) e Im(z) é a parte imaginária, denotada pela letra i.
Um número complexo é normalmente escrito na forma z = σ + it, onde sigma σ é a parte real e it é a parte imaginária. Os números complexos são úteis porque permitem que matemáticos e engenheiros avaliem e trabalhem em problemas onde os números reais comuns não permitem. Os números complexos visualizados estendem a tradicional "linha numérica" unidimensional em um "plano numérico" bidimensional, chamado de plano complexo, no qual a parte real de um número complexo é plotada no eixo x e a parte imaginária é plotado no eixo y.
Para poder usar a função gama Γ (z), ela é normalmente reescrita para a forma:
Figura 16 - A relação funcional da função gama Γ(z).
Usando essa identidade, pode-se obter valores para z abaixo de zero. No entanto, não fornece valores para inteiros negativos, pois eles não são definidos (tecnicamente são singularidades, ou pólos simples).
Função Zeta e função Gama
A ligação entre a função zeta e a função gama é dada pela seguinte integral:
Figura 17 - Onde z não assume os valores de 1, 0, -1, -2, …
Bernhard Riemann
Agora que apresentamos os recursos fundamentais necessários, podemos finalmente começar a fazer a conexão entre os números primos e a hipótese de Riemann.
O matemático alemão Bernhard Riemann nasceu em Breselenz em 1826. Aluno de Gauss, Riemann publicou trabalhos nas áreas de análise e geometria. Sua maior contribuição foi provavelmente no campo da geometria diferencial, onde lançou as bases para a linguagem geométrica mais tarde usada na Teoria Geral da Relatividade de Einstein.
Seu único esforço na teoria dos números, o artigo de 1859, intitulado “Sobre números primos menores que uma dada magnitude” é considerado o artigo mais importante nessa área de estudos. Em quatro páginas curtas, ele delineou:
Uma definição da função zeta de Riemann ζ (s), uma função zeta de valor complexo;
A continuação analítica da função zeta para todos os números complexos s ≠ 1;
Uma definição para a função de Riemann xi ξ (s), uma função inteira relacionada à função zeta de Riemann através da função gama;
Duas provas da equação funcional da função zeta de Riemann;
Uma definição da função de contagem de primos de Riemann J(x) usando a função de contagem de primos e a função de Möbius;
Uma fórmula explícita para o número de primos menores que um determinado número usando a função de contagem de primos de Riemann, definida usando os zeros não triviais da função zeta de Riemann.
Isso representou uma incrível realização de engenharia matemática e criatividade. Um feito realmente admirável.
A função Riemann Zeta
Vimos a relação íntima entre os números primos e a função zeta mostrada por Euler em sua fórmula de produto. Além dessa conexão, no entanto, não se sabia muito sobre a relação e seria necessária a invenção de números complexos para mostrar explicitamente o quão interconectados os dois estão.
Riemann foi o primeiro a considerar a função zeta ζ (s) para uma variável complexa s, onde s = σ + it.
Figura 18 - A Função Zeta de Riemann para n onde s = σ + it é um número complexo onde σ e t são números reais
A função Zeta de Riemann para n onde s = σ + it é um número complexo onde σ e t são números reais.
Chamada de função zeta de Riemann ζ (s), trata-se de uma série infinita analítica (tem valores definíveis) para todos os números complexos com parte real maior que 1 (Re(s) > 1). Nessa região, ele converge absolutamente.
Para analisar a função em regiões além da região regular de convergência (quando a parte real da variável complexa s é maior que 1), a função precisa ser redefinida. Riemann faz isso com sucesso por continuação analítica para uma função absolutamente convergente no meio plano Re(s) > 0.
Figura 19 - A forma reescrita da função zeta de Riemann, onde {x} = x - | x |
Esta nova definição para a função zeta é analítica em qualquer lugar no semiplano Re(s) > 0, exceto em s = 1 onde há um pólo de singularidade simples. Isso é chamado de função meromórfica neste domínio, porque é holomórfica (complexo diferenciável em uma vizinhança de cada ponto em seu domínio), exceto no pólo simples s = 1.
Em seu artigo, Riemann não pára por aí. Ele continua analiticamente sua função zeta ζ (s) para todo o plano complexo, usando a função gama Γ(z). No interesse de manter este artigo simples, não vou mostrar este cálculo aqui, mas recomendo fortemente que você leia por si mesmo, pois demonstra a notável intuição e técnica de Riemann extremamente bem (edição 13/03/20: o cálculo está disponível no Veisdal ( 2013) pp. 28).
Seu método faz uso da representação integral de gama Γ(z) para variáveis complexas e algo chamado de função teta de Jacobi ϑ(x), que juntas podem ser re-escritas para que a função zeta apareça. Resolvendo para zeta, temos:
Figura 20 - Equação zeta funcional para todo o plano complexo, exceto duas singularidades em s = 0 e s = 1.
Dessa forma, pode-se ver que o termo ψ (s) diminui mais rapidamente do que qualquer potência de x, e assim a integral converge para todos os valores de s.
Indo ainda mais longe, Riemann nota que o primeiro termo entre colchetes (-1/s(1 - s)) é invariante (não muda) se alguém substituir s por 1 - s. Fazendo isso, Riemann estende ainda mais a utilidade da equação removendo os dois pólos em s = 0 e s = 1, e definindo a função xi de Riemann ξ (s) sem singularidades:
Figura 21 - A função xi de Riemann ξ (s)
Zeros da função Zeta de Riemann
As raízes/zeros da função zeta, quando ζ (s) = 0, podem ser divididos em dois tipos que foram apelidados de zeros “triviais” e “não triviais” da função zeta de Riemann.
Existência de zeros com parte real Re(s) < 0
Os zeros triviais são os zeros fáceis de encontrar e explicar. Eles são mais facilmente perceptíveis na seguinte forma funcional da função zeta:
Figura 22 - Uma variação da equação zeta funcional de Riemann
Este produto torna-se zero quando o termo seno torna-se zero. Ele faz isso em kπ. Assim, por exemplo, para um número inteiro par negativo s = -2n, a função zeta torna-se zero. No entanto, para inteiros pares positivos s = 2n, os zeros são cancelados pelos pólos da função gama Γ(z). Isso é mais fácil de ver na forma funcional original, onde se você colocar para s = 2n, a primeira parte do termo se torna indefinida.
Figura 23 - Forma funcional original da função zeta de Riemann com s = 2n
Portanto, a função zeta de Riemann tem zeros em todos os inteiros pares negativos s = -2n. Esses são os zeros triviais e podem ser vistos no gráfico da função abaixo:
Figura 24 - A função zeta de Riemann ζ (s) plotada com os zeros triviais destacados em s = -2, -4, -6 e assim por diante.
Existência de zeros com parte real Re(s) > 1
A partir da formulação de produto de Euler de zeta, podemos ver imediatamente que zeta
ζ (s) não pode ser zero na área com parte real de s maior que 1 porque um produto infinito convergente só pode ser zero se um de seus fatores for zero. A prova da infinidade dos primos nega isso.
Figura 4 - Fórmula de Euler
Existência de zeros com parte real 0 ≤ Re(s) ≤ 1
Agora encontramos os zeros triviais de zeta no semiplano negativo quando Re(s) < 0 e mostramos que não pode haver zeros na área Re(s) > 1. A área entre essas duas regiões, entretanto, chamada de faixa crítica, é onde grande parte do foco da teoria analítica dos números ocorreu nas últimas centenas de anos.
Figura 25 - Gráfico da parte real e imaginária da função zeta de Riemann ζ (s) no intervalo -5 < Re < 2, 0 < Im < 60
No gráfico acima, representei graficamente as partes reais de zeta ζ (s) em vermelho e as partes imaginárias em azul. Vemos os dois primeiros zeros triviais no canto esquerdo inferior, quando a parte real de s é -2 e -4. Entre 0 e 1, destaquei a faixa crítica e marquei onde as partes reais e imaginárias de zeta ζ (s) se cruzam. Esses são os zeros não triviais da função zeta de Riemann. Indo para valores mais altos, vemos mais zeros e duas funções aparentemente aleatórias que parecem ficar mais densas à medida que a parte imaginária de s fica maior.
Figura 26 - Gráfico das partes reais e imaginárias da função zeta de Riemann ζ (s) no intervalo -5 < Re < 2, 0 < Im < 120
A Função Riemann Xi ( ξ )
Definimos a função de Riemann Xi ξ (s) (a versão da equação funcional que removeu as singularidades e, portanto, é definida para todos os valores de s) como:
Figura 27 - Sem singularidades
Essa função satisfaz o relacionamento: ξ (s) = ξ (1 - s), ou seja, há uma relação simétrica entre os valores positivos e negativos da função Riemann Xi.
O que significa que a função é simétrica em relação à linha vertical Re(s) = 1/2 de modo que ξ (1) = ξ (0), ξ (2) = ξ (-1) e assim por diante. Esta relação funcional (a simetria de s e 1-s) combinada com a fórmula do produto de Euler mostra que a função xi de Riemann ξ (s) só pode ter zeros no intervalo 0 ≤ Re(s) ≤ 1.
Os zeros do Riemann, em outras palavras, a função xi, corresponde aos zeros não triviais da função Zeta de Riemann. Em certo sentido, a linha crítica R(s) = 1/2 para a função Riemann Zeta ζ (s) corresponde à linha real (Im(s) = 0) para a função Riemann xi ξ (s).
Olhando para os dois gráficos acima, deve-se imediatamente notar o fato de que todos os zeros não triviais da função Riemann Zeta ζ (s) (os zeros da função Riemann xi) têm parte real Re(s) igual a 1/2. Riemann comentou brevemente sobre esse fenômeno em seu artigo, um comentário fugaz que acabaria como um de seus maiores legados.
Finalmente, a hipótese de Riemann
Os zeros não triviais da função zeta de Riemann ζ (s) têm parte real Re(s) = 1/2
Esta é a formulação moderna da conjectura não comprovada feita por Riemann em seu famoso artigo. Em palavras, afirma que os pontos nos quais zeta é zero, ζ (s) = 0, na faixa crítica 0 ≤ Re(s) ≤ 1, todos têm parte real Re(s) = 1/2. Se verdadeiro, todos os zeros não triviais de Zeta serão da forma ζ (1/2 + it).
Uma declaração equivalente (declaração real de Riemann) é que todas as raízes da função xi de Riemann ξ (s) são reais.
No gráfico abaixo, a linha Re(s) = 1/2 é o eixo horizontal. A parte real Re(s) de zeta ζ (s) é o gráfico vermelho e a parte imaginária Im(s) é o gráfico azul. Os zeros não triviais são as interseções entre o gráfico vermelho e azul na linha horizontal.
Figura 28 - Os primeiros zeros não triviais da função zeta de Riemann na linha Re (s) = 1/2
Se a hipótese de Riemann for verdadeira, todos os zeros não triviais da função aparecerão nesta linha como interseções entre os dois gráficos.
Razões para acreditar na hipótese
Existem muitas razões para acreditar na verdade da hipótese de Riemann sobre os zeros da função zeta. Talvez a razão mais convincente para os matemáticos sejam as consequências que isso teria para a distribuição dos números primos.
A verificação numérica da hipótese para valores muito elevados sugere sua veracidade. Na verdade, a evidência numérica para a hipótese é forte o suficiente para ser considerada experimentalmente verificada em outros campos, como a física e a química.
No entanto, a história da matemática contém várias conjecturas que foram mostradas numericamente com valores muito altos e ainda assim foram provadas falsas.
Derbyshire (2004) conta a história do número Skewes, um número muito grande que deu um limite superior, provando a falsidade de uma das conjecturas de Gauss de que a integral logarítmica Li(x) é sempre maior do que a função de contagem principal. Foi refutado por Littlewood sem um exemplo e, em seguida, mostrado que deve falhar acima do muito, muito grande número dez de Skewes à potência de dez, à potência de dez, à potência de 34, mostrando que embora a ideia de Gauss estivesse errada, exemplifica onde exatamente está o alcance do cálculo numérico até hoje. Este também poderia ser o caso da hipótese de Riemann, que "apenas" foi verificada até dez elevado a doze zeros não triviais.
A função Zeta de Riemann e os números primos
Considerando a verdade da hipótese de Riemann como ponto de partida, Riemann começou a estudar suas consequências. Em seu artigo, ele escreve: “É muito provável que todas as raízes sejam reais. Claro que se desejaria uma prova rigorosa aqui. No entanto, após algumas tentativas vãs e fugazes, coloquei provisoriamente de lado a busca por isso, visto que me parece dispensável para o próximo objetivo de minha investigação.” Seu próximo objetivo era relacionar os zeros da função zeta aos números primos.
Lembre-se da função de contagem de primos π(x) que denota o número de primos até e incluindo um número real x. Riemann usou π(x) para definir sua própria função de contagem de primos, a função de contagem de primos de Riemann representada por J(x). É assim definida:
J(x) = 1, quando x é primo.
J(x) = 1/2, quando x é exatamente o quadrado de um número primo.
J(x) = 1/3, quando x é exatamente o cubo de um número primo.
J(x) = etc…
Para relacionar o valor de J(x) a quantos primos existem até e incluindo x, recuperamos a função de contagem de primos π(x) por um processo chamado inversão de Möbius (que não mostrarei aqui). A expressão resultante é:
Figura 29 - A função de contagem principal π(x) e sua relação com a função de contagem principal de Riemann e a função de Möbius μ(n)
Lembrando que os valores possíveis da função Möbius são:
μ(n) = 1, se n for livre de quadrados com um número par de fatores primos.
μ(n) = 0, se n não for livre de quadrados.
μ(n) = -1, se n for livre de quadrados com um número ímpar de fatores primos.
Isso significa que agora podemos escrever a função de contagem de primos como uma função da função de contagem de primos de Riemann, nos dando:
Figura 30 - A função de contagem principal escrita como uma função da função de contagem principal de Riemann para os primeiros sete valores de n
Essa nova expressão ainda é uma soma finita porque J(x) é zero quando x < 2 porque não há primos menores que 2. Se olharmos agora para o nosso exemplo de J (100), obtemos a soma, que sabemos ser o número de primos abaixo de 100:
Figura 31 - A função de contagem principal para x = 100
Traduzindo a fórmula de produto de Euler
A seguir, Riemann usa a fórmula do produto de Euler como ponto de partida e deriva um método para avaliar analiticamente os números primos na linguagem infinitesimal do cálculo. Começando com Euler:
Figura 32 - A fórmula do produto Euler para os primeiros cinco primos
Ao obter primeiro o logaritmo de ambos os lados e, em seguida, reescrever os denominadores entre parênteses, ele obtém a relação:
Figura 33 - O logaritmo da fórmula do produto de Euler, reescrito
A seguir, usando a conhecida série de Taylor, ele expande cada termo logarítmico do lado direito, criando uma soma infinita de somas infinitas, uma para cada termo da série de números primos.
Figura 34 - A expansão de Taylor dos primeiros quatro termos do logaritmo da fórmula do produto de Euler
O segundo termo, e todos os outros termos do cálculo, representam parte da área sob a função J(x). Escrito como uma integral:
Figura 35 - Forma integral do segundo termo
Em outras palavras, usando a fórmula do produto de Euler, Riemann mostrou que é possível representar a função de passo de contagem de primos discreta como uma soma contínua de integrais. Abaixo, nosso termo de exemplo é mostrado como parte da área sob o gráfico da função de contagem principal de Riemann.
Figura 36 - A função de contagem de Riemann Prime J(x) até x = 50, com duas integrais destacadas
Assim, cada expressão na soma finita que compõe a série recíproca principal da fórmula do produto de Euler pode ser expressa como integrais, fazendo uma soma infinita de integrais que correspondem à área sob a função de contagem principal de Riemann. Para o número primo 3, este produto infinito de integrais é:
Figura 37 - O produto infinito de integrais que constituem a área sob a função de contagem principal representada pelo inteiro 3
Coletando todas essas somas infinitas juntas em uma integral, a integral sob a função de contagem de primos de Riemann J(x) pode ser escrita simplesmente:
Figura 38 - O logaritmo de zeta, expresso como uma série infinita de integrais
Ou a forma mais popular:
Figura 39 - O equivalente moderno da fórmula de Euler, conectando a função zeta à função de contagem de Riemann
Com isso, Riemann tinha conectado sua função zeta ζ (s) com sua função de contagem de primos de Riemann J(x) em uma declaração de identidade equivalente à fórmula do produto de Euler, na linguagem do cálculo.
O termo de erro
Tendo obtido sua versão analítica da fórmula do produto de Euler, Riemann a seguir formulou seu próprio teorema dos números primos. A forma explícita que ele deu foi:
Figura 40 - O teorema dos números primos de Riemann estimando o número de primos sob uma dada magnitude x
Esta é a fórmula explícita de Riemann. É uma melhoria no teorema dos números primos, uma estimativa mais precisa de quantos primos existem até e incluindo um número x. A fórmula tem quatro termos:
1. O primeiro termo, ou “termo principal”, é a integral logarítmica Li(x), que é a melhor estimativa da função de contagem primo π(x) a partir do teorema dos números primos. É de longe o maior termo e, como vimos antes, uma superestimativa de quantos primos existem até um determinado valor x.
2. O segundo termo, ou “termo periódico” é a soma da integral logarítmica de x à potência ρ, somada sobre ρ, que são os zeros não triviais da função zeta de Riemann. É o termo que ajusta a superestimativa do termo principal.
3. O terceiro é a constante - Log(2) = -0,6993147…
4. O quarto e último termo é uma integral que é zero para x < 2 porque não há primos menores que 2. Ela tem seu valor máximo em 2, quando sua integral é igual a aproximadamente 0,1400101….
Os dois últimos termos são infinitesimais em suas contribuições para o valor da função conforme x aumenta. Os principais “contribuintes” para grandes números são a função integral logarítmica e a soma periódica. Veja seus efeitos no gráfico abaixo:
Figura 41 - A função de contagem de números primos π(x) sendo aproximada pela fórmula explícita para a função de contagem primos de Riemann J(x) usando os primeiros 35 zeros não triviais ρ da função Zeta de Riemann
No gráfico acima, aproximei a função de contagem principal π(x) usando a fórmula explícita para a função de contagem principal de Riemann J(x) e somei os primeiros 35 zeros não triviais da função zeta de Riemann ζ (s). Vemos que o termo periódico faz com que a função “ressoe” e comece a se aproximar da forma da função de contagem primária π (x). Abaixo podemos ver o mesmo gráfico, usando mais zeros não triviais:
Figura 42 - A função de contagem de números primos π(x) sendo aproximada pela fórmula explícita para a função de contagem de números primos de Riemann J(x) usando os primeiros 100 zeros não triviais ρ da função Zeta de Riemann
Usando a função explícita de Riemann, pode-se aproximar o número de primos até e incluindo um determinado número x com uma precisão muito alta. Na verdade, Von Koch provou em 1901 que usar os zeros não triviais da função zeta de Riemann para corrigir o erro da função integral logarítmica é equivalente ao "melhor limite possível" para o termo de erro no teorema dos números primos.
“Esses zeros agem como postes de telefone, e a natureza especial da função zeta de Riemann dita precisamente como o fio - seu gráfico - deve ser amarrado entre eles”
Dan Rockmore
Epílogo
Desde a morte de Riemann em 1866, aos modestos 39 anos, seu trabalho inovador permaneceu um marco no campo da teoria dos números primos. Até hoje, a hipótese de Riemann sobre os zeros não triviais da função zeta de Riemann permanece sem solução, apesar da extensa pesquisa de vários grandes matemáticos por centenas de anos. Inúmeros novos resultados e conjecturas associadas à hipótese são publicados a cada ano, na esperança de que um dia uma prova seja tangível.
Este artigo é uma versão resumida da minha tese de graduação “Números Primos e a Função Zeta de Riemann”. A própria tese está disponível aqui.
Fontes:
Cantor's Paradise. Veisdal, Jorgen. The Riemann Hypothesis, explained. Disponível em: https://www.cantorsparadise.com/the-riemann-hypothesis-explained-fa01c1f75d3f. Acesso em 13 de agosto de 2021.
TEPEDINO, G.; NEVARES, A.L.M,; MEIRELES, R.M.V. Fundamentos do Direito Civil, Direitos das Sucessões. 2. ed. Rio de Janeiro: Forense, 2021.
FAIS GILSON FAIS ADVOGADO. São Paulo. Brasil. 2021.